motto:
Geometria jest sztuką wyciągania prawidłowych wniosków ze źle sporządzonych rysunków.
[Niels Henrik Abel  (1802 - 1829)]

Wzmiankowaną w tytule historię zdecydowałem się opisać możliwie najkrócej i najmniej zawile, korzystając przede wszystkim z publikacji autorstwa Joana Vicença Gómeza Urgellèsa (ur. 1959 r.), profesora w departamencie matematyki na Politechnice Katalońskiej.
(UPC  -  Universitat Politècnica de Catalunya, uczelnia bardziej znana pod skrótem: Barcelona Tech)
W edycji polskiej wspomniana publikacja ukazała się w 2012 r. pod tytułem Tam gdzie proste są krzywe oraz z podtytułem Geometrie nieeuklidesowe. Nie jestem jednak pewien, czy bez wsparcia poglądowymi rysunkami tekst o geometrii ma wiele sensu, mimo iż głównym dlań motywem było przybliżenie postaci ludzi nauki, którzy odegrali znaczące role w zmianie obowiązującego przez dwadzieścia wieków paradygmatu. Treść niniejszej notki koresponduje z tematyką wcześniejszej, a mianowicie http://stanislaw-orda.szkolanawigatorow.pl/moj-drugi-elementarz, stanowiąc niejako jej uzupełnienie.

Otóż współczesne teorie dotyczące rozumienia otaczającego nas świata nie są już tylko domeną samych fizyków, matematyków, chemików etc., ale stanowią budowę wznoszoną z „cegiełek” interdyscyplinarnych, które wzajemnie się warunkują. W opisywanym przypadku, bez zaistnienia rozwiązań w dziedzinie geometrii nieeuklidesowych, fizycy nie mogliby stworzyć domkniętej i spójnej teorii względności. To tyle tytułem wstępu.   

W przypadkach dotyczących podstaw nauki, nie sposób obyć się bez starożytnych Greków. Tak więc również i tym razem zacznę od jednego z tamtejszych tytanów umysłu. Zakładam, iż niektórym nieobce jest brzmienie jego imienia. Chodzi bowiem o Euklidesa, matematyka z Aleksandrii,  żyjącego w latach 365 -270 a.Ch.n. Niektórzy nawet potrafią skojarzyć imię tego Greka z dziedziną nauki o nazwie geometria. Na początku trzeciego wieku przed Chrystusem (rok 300) opublikował on swoje dzieło zatytułowane Elementy geometrii. Nie była to jakaś błahostka, składało się na nią bowiem 13 ksiąg, w których zamieszczone zostały 93 problemy, 465 stwierdzeń i 372 twierdzenia.  Albo, ujmując rzecz krócej, zawarto w niej całość ówczesnej wiedzy matematycznej. Przez niemal dwa tysiąclecia Elementy stanowiły podstawowy podręcznik do nauki geometrii. W pierwszej księdze znalazły się podstawy tej dyscypliny nauki określone w 48 własnościach, 23 definicjach i 5 aksjomatach. W świecie cywilizacji chrześcijańskiej Elementy zostały wydane drukiem po raz pierwszy w 1482 r., w Wenecji jako tłumaczenie z arabskiego (na łacinę), zaś pierwsze ich wydanie w przekładzie z greki na łacinę to rok 1505.

Postaram się wyjaśnić o co chodzi w historii związanej z tytułowymi prostymi. Z pięciu aksjomatów Euklidesa cztery nie budziły wątpliwości ani wcześniej, ani nie budzą ich dzisiaj. Natomiast piąty rozpętał burzę, która w swoich dalekosiężnych skutkach umożliwiła sformułowanie ogólnej teorii względności, czyli zasad fizyki relatywistycznej. Spróbuję opisać tę historię „po kolei”.

Oto aksjomaty Euklidesa:
I. Przez dowolne dwa punkty można poprowadzić prostą;
II. Dowolny odcinek można przedłużać, otrzymując w ten sposób prostą;
III. Mając dany odcinek, można wyznaczyć okrąg, którego promieniem będzie ten odcinek, a środkiem jeden z końców odcinka;
IV. Wszystkie kąty proste są przystające;
V. Jeżeli poprowadzimy dwie proste przecinające trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych  jest mniejsza niż suma
    dwóch kątów prostych, to te dwie proste przetną się, o ile będą odpowiednio daleko przedłużone.

Bohaterem niniejszej opowieści jest piąty z wymienionych i postaram się odpowiedzieć, dlaczego ten właśnie wywołał wspomnianą burzę. Już z samego porównania długości jak i zawartości treści poszczególnych aksjomatów wynika, że ostatni z nich jest nie tylko dłuższy od pozostałych, ale posiada także dużo bardziej „skomplikowaną”  konstrukcję. To powoduje, iż nie posiada waloru intuicyjnej oczywistości. Został w nim zawarty postulat, że z jednej strony przecinanej linii owe dwie proste będą się do siebie przybliżać, a po przeciwnej (gdzie suma kątów wewnętrznych jest większa, niż suma dwóch kątów prostych) będą się coraz bardziej od siebie oddalać. Na podstawie tego właśnie postulatu Euklides udowodnił, iż kąty w trójkącie sumują się do dwóch kątów prostych, a zatem skoro w trójkącie są trzy kąty, to tylko jeden z nich może być prosty (90 stopni).

Warto dodać, iż innym wariantem aksjomatu piątego jest twierdzenie Pitagorasa o relacjach boków w trójkącie prostokątnym, dotyczące równości kwadratu przeciwprostokątnej i sumie kwadratów dwóch przyprostokątnych.

Problem z aksjomatem numer pięć wydawał się czysto praktyczny, gdyż jego konsekwencją była możliwość przedłużania linii praktycznie w nieskończoność, aby móc stwierdzić, iż faktycznie się przecinają. Ta właściwość uniemożliwiała weryfikację zawartego w nim postulatu, że takie dwie proste zawsze się przetną. Toteż zaczęły się próby udowodnienia piątego postulatu za pomocą czterech pozostałych, gdyż zakładano, iż powinien z nich wynikać.

Za pioniera poszukiwań rzeczonego dowodu wypada uznać Proklosa z Aleksandrii, matematyka i filozofa żyjącego w V wieku nowej ery (410 - 485). W wyniku swoich pomysłowych prób zdołał jedynie osiągnąć rezultat, który jest równoważny postulatowi zawartemu w definicji  piątego aksjomatu. Po epoce starożytności pojawili się kolejni „mózgowcy”, którzy zmierzyli się z dowodem na słuszność piątego aksjomatu.

Pośród matematyków średniowiecznych byli to działający w Egipcie matematyk arabski Alhazen (Abu Ali Hasan Ibn al-Haytam; 964 -1040) oraz perski Omar Chajjam (1048-1131). O ile ten pierwszy użył piątego aksjomatu w zawiłej kombinacji, mającej za cel udowodnienie piątego aksjomatu, czyli wyszło mu w efekcie masło maślane, to ten drugi popchnął nieco sprawę dowodu we właściwym kierunku. W swoim najważniejszym dziele Prawda o równoległości i omówienie słynnej niepewności (czyli związanej z piątym aksjomatem, która była już wówczas słynna w świecie matematyków) zaproponował konstrukcję czworokątów, w których jeden bok był wklęsły, czyli kąty przy tym boku nie byłymi kątami prostymi. Nie rozwinął jednak dalej tej koncepcji.

W epoce nowożytnej jednym z pierwszych śmiałków okazał się francuski matematyk Adrien-Marie Legendre (1752-1833), który biedził się nad problemem coś około czterdziestu lat i zmarł nie osiągnąwszy założonego celu, ale przy tej okazji uzyskał sporo wartościowych dokonań. Zdążył jeszcze udowodnić np. twierdzenie o szczególnym przypadku kątów w trójkącie, a mianowicie, że „istnieje trójkąt, w którym suma kątów wewnętrznych jest równa sumie dwóch kątów prostych”, jako przypadek graniczny (wobec istnienia innych trójkatów, w których takiej równości nie było).

Kolejnym był John Playfair (1748-1819), szkocki matematyk i geolog, który piąty aksjomat zdołał  jedynie przeformułować w sposób krótki i na tyle atrakcyjny, że przypadł wszystkim do gustu tak bardzo, iż jego wersja jest często przedstawiana jako oryginalny tekst Euklidesa. Oto brzmienie piątego aksjomatu wg tej skróconej wersji: „Przez punkt na zewnątrz danej linii może przechodzić tylko jedna prosta równoległa do niej”. I właśnie to brzmienie jest tym odniesieniem, które pojawiać się będzie w dalszej części notki. 

Dalsze prace nad wspomnianym zagadnieniem prowadził włoski jezuita, matematyk i astronom Christopher  Clavius (1538-1612), znany bardziej jako spiritus movens zmiany kalendarza juliańskiego na gregoriański (wówczas po czwartku 4 października 1582 r. nastąpił piątek 15 października tegoż roku), który w gronie matematyków zyskał miano Euklidesa  16-go stulecia. Jest on autorem zbioru uwag do euklidesowych Elementów, w wyniku czego ilość autorskich twierdzeń Claviusa osiągnęła liczbę 862 (przy 372 Euklidesa), czyli powiększyła zbiór twierdzeń z dziedziny geometrii do ilości 1234. Postulaty z tego podręcznika wykorzystali w swoich pracach inni matematycy (Giovanni Saccheri oraz René Descartes/Renatus Cartesius  -  Kartezjusz). Ale również Claviusowi nie udało się znaleźć dowodu na prawdziwość piątego aksjomatu, bez konieczności użycia przy jego konstrukcji dowodzonego twierdzenia.

Kolejnym, który podjął taką próbę, był  angielski matematyk John Wallis (1616-1703), który, m. in., wprowadził symbol nieskończoności (spłaszczona ósemka w pozycji poziomej). Również jego wysiłki nie odniosły skutku, ale za to stworzył podwaliny rachunku całkowego, który rozwinęli Isaac Newton i Gottfried Leibniz.

Tak czy inaczej, wyglądało na to, że piąty aksjomat pozostanie, w postaci mniej lub bardziej rozwiniętej, jedynie idealizacją, której prawdziwości nie daje się udowodnić. Ale, rzecz jasna, nie zamierzano poprzestać na podobnej konstatacji.

Na udowodnienie  piątego aksjomatu zamierzył się włoski matematyk, jezuita Girolamo Giovanni Saccheri (1667-1733), który w swoim dziele Geometria Euklidesa wolna od błędów, usiłując przedstawić dowód na błędność piątego aksjomatu, jako pierwszy opracował koncepcje geometrii hiperbolicznej i jej pierwsze twierdzenia. Skoro nie dawało się udowodnić prawdziwości, zastosował on metodę „na odwyrtkę”, czyli postanowił udowodnić jego fałszywość. Oznaczało to, że przy niemożności znalezienia dowodu na fałszywość, wedle zasady reductio ad absurdum, taki aksjomat zyskałby walor prawdziwości. W drodze proponowania rozmaitych ścieżek dowodzenia, nieświadomie otworzył drogę do nowych geometrii, gdyż przy założeniu sprzeczności  (nieprawdziwości) piątego aksjomatu, niemożność dowiedzenia jej otwierała drogę do innego, niż euklidesowy, rodzaju geometrii. Kwestia ta wydała mi się na tyle interesująca, (choć nie wykluczam, że tylko dla mnie), iż dodam jeszcze kilka zdań na ten temat.

Zgodnie z postulatem zawartym w piątym aksjomacie, jeśli kąty w czworokącie są proste przy dwóch wierzchołkach, to pozostałe dwa kąty (przy wierzchołkach górnej krawędzi czworokąta) muszą być sobie równe. Ale to wcale nie oznacza, że proste. Wobec czego, poza przypadkiem kątów prostych, Saccheri rozważał jeszcze opcje kątów rozwartych (większych od 90 stopni i mniejszych od 180 stopni) oraz kątów ostrych (mniejszych od 90 stopni i większych od zera). Udowodnił, że postulat o równoległych jest równoważny postulatowi o kątach prostych, ale nie mógł tego udowodnić w dwóch pozostałych przypadkach. Gdyby tego dokonał, zyskałby laur prekursora dowodu na poprawność piątego aksjomatu. Znalazł dosyć łatwo dowód na wykazanie sprzeczności opcji numer dwa (o kątach rozwartych), nie zdołał natomiast przeprowadzić analogicznego dowodu na istnienie sprzeczności przy opcji numer trzy (kąty ostre). Niejako przy okazji G. Saccheri udowodnił różne inne twierdzenia geometrii nieeuklidesowej, ale to jest temat, który  wykracza poza tytułowy wątek.

Inny wariant dowodzenia piątego postulatu zaproponował Johann Heinrich Lambert  (1728 -1777),  matematyk szwajcarski, autor publikacji Teoria prostych równoległych. O ile G. Saccheri kombinował z dwoma kątami prostymi, Lambert rozważał czworokąt o trzech kątach prostych, który tylko przy jednym z wierzchołków miał kąt ostry lub rozwarty. Można to sobie wyobrazić jako czworokąt, którego” górna” krawędź przy jednym z wierzchołków odchyla się  w górę lub w dół. Jemu również nie powiodło się przedstawienie dowodu na równoległość przy wykorzystaniu pozostałych czterech aksjomatów euklidesowych.

Utrwalało się więc przekonanie, że postulat o równoległości jest faktycznie aksjomatem, a nie zaś twierdzeniem, zatem nie potrzebuje dowodu. Ale przekonanie to nie „dowód”, pozostawało więc coś jeszcze  do zrobienia. Reasumując, koncepcje geometrii hiperbolicznej zbytnio wyprzedzały swoją epokę i dlatego poszły w zapomnienie na około 100 lat.

Dzisiaj już wiadomo, że taka sprzeczność nie występuje, zaś postulat kątów ostrych stanowi jeden z fundamentów geometrii nieeuklidesowej.

Przełom

Punktem wyjścia stało się zastąpienie  piątego aksjomatu Euklidesa postulatem w brzmieniu:
Przez punkt leżący poza daną prostą przechodzi więcej niż jedna prosta równoległa do tej prostej.
Nad tym właśnie zagadnieniem kontynuowało prace jednocześnie dwóch matematyków nie wiedzących o swoich poszukiwaniach.

Zaczynam od tego, który legitymuje się wcześniejszą datą urodzenia. Był nim Nikołaj Iwanowicz Łobaczewski (1792-1856), profesor matematyki na uniwersytecie w Kazaniu (Imperium Rosyjskie) i jego rektor od 1829 r., z której to posady został usunięty w 1846 r. wskutek kwestionowania aksjomatów Euklidesa. Wyniki swoich badań opublikował w 1829 r. w czasopiśmie uniwersyteckim, natomiast  ich wydanie książkowe z 1835 r. nosi tytuł Geometria urojona. Poza wspomnianym tytułem opublikował wiele innych prac ważnych dla dziedziny geometrii. Publikacja związana z tematem niniejszej notki powstała w 1840 r., liczy 61 stron i zatytułowana jest Geometryczne badania prostych równoległych. Zawiera ona, alternatywną do euklidesowej, wersję piątego aksjomatu:
Istnieją co najmniej dwie proste równoległe do danej prostej przechodzące przez punkt leżący poza tą prostą.
W rozwinięciu tej koncepcji Łobaczewski  doprecyzował, że przez wspomniany punkt można przeprowadzić nieskończenie wiele prostych równoległych.
W celu zilustrowania tego postulatu zastosował wiele wypracowanych przez siebie wzorów trygonometrycznych, które zostały nazwane równaniami geometrii hiperbolicznej. I właśnie ta ostatnia  publikacja, w której wyjaśnia jak zachowuje się geometria nieeuklidesowa, stała się powodem usunięcia N. Łobaczewskiego z pracy na uniwersytecie w Kazaniu.

Jako swoistą ciekawostkę dodam, iż hiszpański Autor publikacji (wymienionej we wstępie tej notki) lokuje nadwołżański Kazań „koło Syberii”, co jest  typowym wyobrażeniem realiów wschodniej Europy przez mieszkańca zachodniej części naszego kontynentu. A wszak Kazań to stricte europejska część Rosji, którą od górskiego systemu Uralu (dopiero za tym grzbietem górskim zaczyna się Azja) dzieli jeszcze ponad 700 km w linii prostej i żeby znaleźć się na Syberii trzeba jeszcze zaliczyć dodatkowo ok. 100 km (szerokość pasma Uralu).

W taki sposób Nikołaj Łobaczewski, były nauczyciel matematyki zostając bezrobotnym, popadł w biedę, podupadł na zdrowiu, wreszcie stracił wzrok. Umierając, zupełnie nie był świadom tego, że zostanie uznany za jedną z głównych postaci geometrii nieeuklidesowej.

Drugim  z tych nowatorów był János Bolyai (1802-1860), węgierski kawalerzysta, który uznawany był za najlepszego  szermierza oraz tancerza w armii c.k. Austrii, także poliglota (9 języków, w tym chiński i tybetański), ponadto całkiem niezły skrzypek, a na dodatek pasjonat matematyki. Urodził się z talentem matematycznym, skoro w wieku 13 lat opanował rachunek różniczkowy i całkowy. Przymiot ten zapewne odziedziczył po ojcu (Farkas Bolyai), nauczycielu matematyki i także poliglocie. János Bolyai, w wyniku przebytej ciężkiej choroby, musiał w wieku 31 lat zrezygnować z kontynuowania kariery wojskowej. Ten wybitnie zdolny matematyk zostawił po sobie ponad dwadzieścia tysięcy stron ręcznych zapisków dotyczących zagadnień równoległości. Ale zdołał opublikować tylko jeden tytuł. Był to dodatek do jednego ze szkolnych podręczników napisanych przez jego ojca. Brzmienie tego tytułu to po prostu Dodatek i to w tej 24-ro stronicowej publikacji zamieścił własne rozwiązanie problemu równoległości. Konkluzja wynikająca z rozwiązań Jánosa Bolyai była następująca:
Postulat zawarty w piątym aksjomacie Euklidesa nie jest możliwy do udowodnienia, a ponadto jest on całkowicie niezależny od postulatów zawartych w czterech pozostałych aksjomatach. 

Jeśli było o Jánosu Bolyai, to musi być także o Carlu Friedrichu Gaussie (1777- 1855), niemieckim dziewiętnastowiecznym księciu matematyków, profesorze matematyki, fizyki, astronomii i geodezji z uniwersytetu w Getyndze. Ten wybitny matematyk przyjaźnił się z ojcem Jánosa Bolyai, obaj przez długie lata prowadzili korespondencję na temat geometrii, a w szczególności piątego aksjomatu.
C. Gauss  za swojego życia nie opublikował własnych rozważań w zakresie geometrii nieeuklidesowej, poznano je dopiero po jego śmierci. W tym wątku nie ma miejsca na opis jego osiągnięć w dziedzinach poza geometrią, ale wypada nadmienić, iż C. Gauss jest powszechnie uznawany za jednego z trzech najwybitniejszych matematyków w dziejach cywilizacji (obok Archimedesa i Izaaka Newtona). Musi natomiast znaleźć się miejsce na résumé dotyczące opinii Gaussa w kwestii piątego aksjomatu Euklidesa oraz rozwiązania zaproponowanego przez Jánosa  Bolyai. C. Gauss w liście do ojca Jánosa napisał, iż rozwiązanie to jest w zasadzie identyczne z tym, do którego on sam dochodził przez ponad 30 lat. I że jest w najwyższym stopniu zdumiony rezultatem osiągniętym przez Jánosa.

Carl Gauss był także promotorem pracy doktorskiej  Bernharda Riemanna, o którym to mózgowcu będzie mowa w dalszej części notki, jako że to końcowa postać w długim szeregu matematyków wypracowujących alternatywne systemy  geometrii, w tym takie, które zaoferowały schemat pojęciowy, konieczny dla sfinalizowania teorii względności.

W tym miejscu wstawiam krótkie wyjaśnienie na czym polega zasadnicze rozróżnienie geometrii euklidesowej od dwóch podstawowych geometrii nieeuklidesowych.

Dla geometrii euklidesowej modelem jest nieograniczona płaska powierzchnia wraz z naturalnie (intuicyjnie) zdefiniowanymi pojęciami punktu oraz linii prostej. W nawiązaniu do postulatu zawartego w piątym aksjomacie należy mieć na uwadze, że w geometrii płaskiej powierzchni linia równoległa do prostej jest jednocześnie do niej równoodległa, który to warunek (równej odległości dla każdego punktu linii równoległej do prostej) nie występuje w geometrii nieeuklidesowej (przy porównaniu do euklidesowej).

Modele dla geometrii  nieeuklidesowych tj. hiperbolicznej (Łobaczewski i Bolyai) oraz dla geometrii eliptycznej (Riemann) są  bardziej skomplikowane. Ale po cóż mamy wyobraźnię.

Zatem wyobraźmy sobie przechodnia, który idzie ciągnąc ręką wózek (plecak) na kółkach. Musimy przy tym założyć, że przechodzień jak i wózek poruszają się z taką samą prędkością. Gdy zechcemy narysować trasę przebytą przez ten „duet”, wówczas linią prostą zakreślimy drogę przechodnia, a linia łącząca poszczególne punkty drogi, którą przemierza wózek, będzie zbliżała się asymptotycznie do tej prostej. Czyli przechodzień wlecze za sobą wózek, zaś droga wózka nosi formalną nazwę w brzmieniu wleczona. I choć zbliża się ona do prostej (która nosi nazwę asymptota), to odległość wózka od przechodnia nie zmienia się, zmienia się jedynie kąt pod jakim rysujemy punkty oznaczające kolejne pozycje wózka względem prostej. Im bliżej tej prostej znajduje się wózek, tym kąt ten jest mniejszy. Ale linie łączące przechodnia z wózkiem są zawsze tej samej długości.

Kształt drogi przechodnia i wózka obrazuje figura zwana traktrysą. Wygląda to jak choinka mająca gałęzie tylko z jednego boku, które od postawy w górę stają się coraz bardziej nachylone, czyli ich końce (tj. pozycja wózka) sytuują się coraz bliżej pnia owej choinki. Jeśli teraz wyobrazimy sobie, że  traktrysa wykonuje obrót wokół własnej osi, to powstanie wówczas powierzchnia, która nosi nazwę pseudosfery. Przypomina ona trąbkę (lub lejek), poczynając od jej szerokiego końca (podstawa pseudosfery)  poprzez część zwężającą się. Rozmiar (długość) trąbki jest tu bez znaczenia, byle rysunek był czytelny, bo chodzi tu tylko o ilustrację modelową. Można także wyobrazić sobie taką powierzchnię np. jako siodło do końskiej jazdy. I jeśli na takiej powierzchni zechcemy narysować linie równoległe albo trójkąt, zauważymy, że nie będą to rysunki identyczne do takich samych, ale narysowanych na powierzchni płaskiej. A zatem proste równoległe na pseudosferze nie zawsze będą równo odległe, zaś suma kątów w trójkątach zawsze będzie mniejsza niż 180 stopni. Prostymi będą natomiast najkrótsze linie łączące punkty (tzw. linie geodezyjne).
Własności właściwe dla takiej powierzchni noszą nazwę geometrii hiperbolicznej.

Dla porządku dodam, iż inny wariant przestrzeni hiperbolicznej  (przestrzeń okręgu) jest autorstwa niemieckiego matematyka  Feliksa Kleina (1849-1925). Oczywiście jest to również przykład geometrii nieeuklidesowej. F. Klein jest współautorem określeń: geometria hiperboliczna i geometria sferyczna.

Bernhard  Riemann 1826-1866), matematyk niemiecki opracował odmienny od wyżej opisanego rodzaj geometrii nieeuklidesowej. Wyszedł od zmiany postulatu w piątym aksjomacie Euklidesa. Mianowicie Riemann zastąpił ten postulat następującym:
Dla danej linii prostej i punktu leżącego poza nią nie istnieją proste przechodzące przez ten punkt równoległe do tej prostej.
Tak zasadnicza rewolucja w postulacie tworzącym piąty aksjomat musiała posiadać uzasadnienie, jak też wyjaśnienie.  Riemann je przedstawił, a oto jego treść:
Nie istnieje nieskończenie długa linia prosta, bo w końcu musiałaby stać się krzywą. Podobnie nie ma idealnie płaskiej powierzchni, gdyż po dostatecznie szerokim jej rozciągnięciu musiałaby się zagiąć tak, jak zagina się wszechświat. A ponieważ będzie się ona zaginać w każdym kierunku, to taka wygięta płaszczyzna staje się sferyczna. A zatem jedyną istniejącą geometrią jest geometria na sferze.

Mówiąc obrazowo, w geometrii Riemanna nie ma prostych, a suma kątów w trójkącie jest zawsze większa od 180 stopni. Konstrukcje geometryczne na powierzchni sfery mają właśnie takie właściwości.

Każdy może się o tym przekonać używając flamastra i np. pomarańczy. Wystarczy narysować  na skórze tego owoca trójkąt. Dobrą ilustracją jest również globus z wyrysowanymi południkami i równoleżnikami. Każda z takich linii wyobraża proste na sferze. Południki są to proste równolegle, prostopadłe do równika, które zbiegając się, przecinają się tylko w dwóch punktach (biegun północny i południowy). Są zatem liniami o skończonej długości. Tak jak gdyby patrzeć na tor kolejowy, którego szyny zbiegają się stopniowo, zlewając się w punkt na horyzoncie. Oczywiście odnosi się to do każdej dowolnej prostej na sferze, czyli przecina ona w dwóch punktach inną dowolną prostą przechodzącą przez jakiś  (wybrany) punkt.

 Riemann prowadził swoje rozważania na modelu sfery o kształcie eliptycznym (taka trochę  spłaszczona kula), skąd nazwa geometria eliptyczna.

Wspomniany wcześniej Felix Klein oraz angielski matematyk Arthur Cayley (1821-1895) są autorami określeń dla trzech rodzajów geometrii. Obok omówionych hiperbolicznej i eliptycznej (sferycznej), zaproponowali także nazwę dla geometrii euklidesowej, określając ją mianem parabolicznej.

Z poprzednich omówień wynika, iż sposób rozumienia równoległości w geometrii nieeuklidesowej różni się dosyć zasadniczo od jej klasycznego przedstawienia. Należy dodać bardzo istotną uwagę,  mianowicie hipotetyczna istota żyjąca na powierzchni hiperbolicznej czy eliptycznej nie zauważyłaby żadnej różnicy, czyli nie mogłaby zmierzyć, iż odległości dróg równoległych nie są odległościami równo oddalonymi, ponieważ przyrządy pomiarowe do mierzenia odległości odkształcałyby się identycznie jak odległości.

B. Riemann, obok „wymyślenia” geometrii sferycznej, zaproponował sposób obliczania krzywizny dowolnej powierzchni trójwymiarowej. Posługując się pewnymi równaniami różniczkowymi określił stopień zniekształcenia odległości wynikający z danej krzywizny. Oznacza to, że wykorzystując te równania można dokonywać korekt pomiarów.

Przykładowo, dla długości okręgu o promieniu 100 km różnica w pomiarze krzywizny (w stosunku do geometrii euklidesowej) wynosi 10 do potęgi minus dziewiątej. Odpowiednio dla okręgu o promieniu długości 1 km wynosi ona jak 10 do potęgi minus 12, a w przypadku promienia o długosci 1 metra jak 10 do potęgi minus 15.

Gdy Hermann Minkowski (1864-1909), kolejny niemiecki matematyk z ośrodka uniwersyteckiego w Getyndze, dołożył do trójwymiarowej sfery czas jako czwarty wymiar, utworzył w ten sposób gotową konstrukcję czasoprzestrzeni, gotową do wykorzystania w fizycznej teorii względności. I gdyby nie uczynił tego Albert Einstein, wykonałby to jeden z ówczesnych fizyków, gdyż wszystkie potrzebne puzzle były już wówczas na swoich miejscach, należało jedynie dokonać odpowiedniej interpretacji, co z tego ich układu wynika.

I w tym miejscu opowieść o zawiłej historii linii prostych równoległych dobiegła końca.

Podsumowanie

Każdy z omówionych rodzajów geometrii jest poprawny, o ile będzie zastosowany adekwatnie do rozmiarów i rodzajów powierzchni (skali odległości). Dla niewielkich powierzchni (odległości) różnice w pomiarach odległości (powierzchni) pomiędzy poszczególnymi rodzajami geometrii są na tyle niewielkie, iż w praktyce  bez znaczenia. Rosną one jednak wraz ze wzrostem wspomnianych parametrów.

Opisane geometrie nie stanowią ostatniego słowa w rozwoju nowych geometrii, ale kwestia ta wykracza poza zakres tematyczny niniejszej notki. 

Wspomnę jedynie, iż koncepcje takie istnieją i są rozwijane. Jedną z nich jest geometria całkowa, której koncepcję opracował  hiszpański matematyk Luís Antoni Santaló Sors (1911- 2001), który po wojnie domowej wyjechał do Argentyny i pracował tam na uniwersytetach:  Litoral - UNL (Universidad Nacional del Litoral ) w Santa Fe,  Universidad Nacional de La Plata - UNLP oraz Universidad de Buenos Aires  - UBA. Ponadto wraz z austriackim matematykiem Wilhelmem Johannem Eugenem Blaschke (1885-1962) pracował nad teorią geometrii integralnej rozwijając geometrię sensorów i geometrię rzutową.

Ale tych rodzajów geometrii, wymienionych jako ostatnie, nie da się w żaden sposób opisać bez pomocy rysunków oraz użycia wzorów  formalistyki matematycznej.

******

Moje dotychczasowe teksty na „SN” pod linkiem :
http://stanislaw-orda.szkolanawigatorow.pl/troche-prywaty

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

tagi:

	stanislaw-orda
	3 stycznia 2022 16:33

30     1490    8 zaloguj sie by polubić